Вековые ступени прикладной математики (от Пифагора до Птолемея)

Вековые ступени прикладной математики (от Пифагора до Птолемея)

Скачати 255.64 Kb.

Дата конвертації 18.04.2016 Розмір 255.64 Kb. ВЕКОВЫЕ СТУПЕНИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

(от Пифагора до Птолемея)
под редакцией Кочегурова Владимира Александровича

(г. Томск, Томский политехнический университет)

CENTURY STEPS OF APPLIED MATHEMATICS

(from Pythogor to Ptolomeus)
under editorship of Kochegurov

(Tomsk, Tomsk Polytechnic University)

Статья написана на основе рефератов, представленных студентами первого курса кафедры Прикладной математики в соответствии с заданием по дисциплине ‘Введение в специальность ‘ (группа 8650 приема 1985 года). Рефераты написаны почти 30 лет назад, но, на мой взгляд, представляют интерес для студентов, выбравших специальность Прикладная математика. Моя редакция носит формальный характер, на авторство я не претендую.

Ключевые слова: геометрия, теорема, техника вычислений, прикладная математика.
This article was written on basis of freshmen’s abstracts. The abstracts were written in 1985 year about thirty years ago according to task of the subject ‘Introduction in Applied Mathematics’ but in my opinion they represent interest to the students of Applied Mathematics speciality. My editorship is formal and I do not pretend on authorship.

Key words: geometry, theorem, calculation technic, applied mathematics
Астрономы и физики раньше других поняли, что математические методы для них не только способы вычислений, но и один из основных путей проникновения в существо изучаемых ими закономерностей. В наше время математизацией знаний математика совершает своеобразный победный марш. В результате многие науки и области знания до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств , теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина такого внимания к математике, конечно, не в приходящей моде, а в том, что качественное изучение явлений природы, техники, экономики зачастую оказывается недостаточным. Как можно создать автоматически работающую вычислительную машину, если имеются только общие представления о длительности последействия передаваемых импульсов на элементы? Как можно автоматизировать процесс выплавки стали или крекинга нефти без знания точных количественных закономерностей этих процессов? Вот почему автоматизация вызывает дальнейшее развитие математики, оттачивание ее методов для решения огромного числа новых и трудных проблем.

Роль математики в развитии других наук и в практических областях деятельности человека невозможно установить на все времена. Изменяются не только те вопросы, которые требуют скорейшего решения, но и характер решаемых задач. Создавая математическую модель реального процесса, мы неизбежно упрощаем его и изучаем лишь приближенную схему. По мере уточнения наших знаний и выяснения роли ранее не учтенных факторов удается сделать более полным математическое описание процесса. Процедуру уточнения нельзя ограничить, как нельзя ограничить самого знания. Математизация науки состоит не в том, чтобы исключить из процесса познания наблюдение и эксперимент. Они являются непременными составными частями полноценного изучения явлений окружающего нас мира. Смысл математизации знаний состоит в том, чтобы из точно сформированных исходных предпосылок выводить следствия, доступные непосредственному наблюдению, с помощью математического аппарата не только описывать установленные факты, но и предсказывать новые закономерности, прогнозировать течение явлений, и тем самым получать возможность управлять ими. Если эти предсказания оправдываются, теория укрепляет свое положение и продолжает дальнейшие выводы. Но, поскольку, математическая теория того или иного явления всегда приближенна, рано или поздно наступает момент, когда какое-то следствие теории не подтверждается. Эксперимент или какой-то новый факт не всегда объясняется теорией. Значит математическая теория оказалась недостаточной. Необходим пересмотр исходных предпосылок теории, изменение положений, которые раньше казались незыблемыми. Такой пересмотр приводит к новой теории, способной шире и глубже проникнуть в структуру изучаемых явлений. Математизация наших знаний состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том чтобы начать поиски того специфического аппарата, который бы позволил наиболее полно описать интересующий нас круг явлений, выводить из того описания новые следствия, чтобы уверенно использовать особенности этих явлений на практике. Так случилось в период, когда изучение движения стало насущной необходимостью, а Ньютон и Лейбниц завершили создание начал математического анализа. Этот математический аппарат до сих пор является одним из основных орудий прикладной математики.

В наши дни разработка теории управления процессами привела к ряду выдающихся математических исследований, в которых заложены основы оптимального управления детерминированными и случайными процессами.
Двадцатый век резко изменил представления о прикладной математике. Раньше в арсенал средств прикладной математики входили арифметика и элементы геометрии. 18 и 19 века добавили к ним мощные методы математического анализа. В наше время трудно указать хотя бы одну значительную ветвь современной математики, которая в той или иной мере не находила бы применение в великом океане прикладных проблем. По-видимому, разделение математики на прикладную и теоретическую потеряло смысл. Скорей всего не математика, и математики разделяются по своим интересам и творческой направленности, на прикладников и теоретиков. Одни считают своей основной задачей преодоление трудностей, связанных с решением задач, которые не поддавались усилиям прежних поколений. Эти задачи интересуют их сами по себе, они связаны не только с прикладными вопросами, но и с прогрессом математики в целом. Других волнует построение математики в ее основах. Они стремятся так отшлифовать центральные понятия математики, чтобы охватить ими возможно более широкий круг задач. Есть математики, для которых математики и ее методы существуют не ради самих себя, а в качестве орудия познания законов природы. Конкретная практическая задача для них – лишь источник для размышлений. Решая ее они разрабатывают общие приемы, позволяющие освещать широкий круг различных вопросов. Такой подход особенно важен для процессв науки. От этого выигрывает не только данная область приложений, но и все остальные, а в первую очередь, саамам теоретическая математика. Именно такой подход к математике заставляет искать новые методы, новые понятия, способные озватить новый круг проблем; он расширяет область математических исследований. Последние десятилетия дают нам множество примеров подобного рода. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить появление в математике таких теперь центральных ее ветвей как теория случайных процессов, теория информации, теория оптимального управления процессами, теория массового обслуживания, ряд областей , связанным ЭВМ.
Математик-прикладник обязан владеть существом реальной задачи, уметь выбрать математический инструмент, который лучше всего подходит к ней, а если такого инструмента не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия и найти их истолкование. Настоящий математик-прикладник не может ограничиться каким-либо одним методом и втискивать реальную проблему в известный ему математический аппарат, для каждой реальной проблемы он должен находить те математически средства, которые наиболее соответствуют природе. И прав Архимед, сказав, что по сравнению с чистыми геометрами он сделал шаг дальше, указав также на нематематические следствия из теоремы о параболе.
Сейчас больше, чем когда-либо в прошлом, важно выяснить особенности прикладной математики. К сожалению, даже среди весьма способных математиков, интересующихся лишь абстрактно-теоретическими вопросами, существует своеобразное презрение к занятиям математика-прикладника. Они полагают, что прикладными вопросами могут заниамться лишь бесталанные люди, которые не могут дать ничего полезного абстрактной математике. Это ошибочная и, несомненно, вредная точка зрения. Математик-прикладник, не узкий ремесленник, а творец очень высокого ранга. Ему необходимо знакомство не только с математикой, но и глубокое знание предмета прикладного исследования. Он должен создать математическую модель изучаемого явления и найти, а в ряде случаев просто изобрести, новые методы исследования. Последние годы дают нам многочисленные примеры, когда вопросы практики даже очень узкие и недостаточно сформулированные, приводили к созданию новых областей математических исследований и к глубокому преобразованию наших взглядов на содержание и задачи математики.

Так, в течение тысячелетий многочисленными безвестными тружениками закладывался фундамент современной математики. Постепенно люди научились выполнять арифметические действия с целыми числами, а затем и с рациональными дробями, научились правильно вычислять площади довольно сложных фигур и объемы простейших тел. Уже в ту пору люди изобрели вспомогательные средства для упрощения взаимных расчетов, пусть эти изобретения очень примитивны, но их создание стало важным элементом человеческой культуры. И если теперь человечество знает гораздо больше и мечтает о решении проблем, которые совсем недавно казались фантастикой, то в этом заслуга предшествующих поколений, на опыте которых базируются наши знания. Примитивный математический аппарат, вызванный к жизни несложными потребностями охотника, скотовода, земледельца и воина тех далеких времен, оказался явно недостаточным. Когда начала развиваться астрономия, далекие путешествия потребовали разработки методов ориентации в пространстве. Жизненная практика и практика развивающихся естественных наук стимулировала дальнейшее развитие математики. И действительно, в течение каких-нибудь двухсот лет в Древней Греции был сделан принципиально новый шаг – математика стала формироваться как дедуктивная наука. В культурном развитии человечества произошел скачок, равный которому трудно найти на протяжении всей истории научных знаний.

Математика развивается. В ней строятся новые кварталы и сносятся устаревшие здания. Многие мелкие строения объединяются в единые комплексы, а между отдаленными областями проводятся дороги взаимосвязи. Этот своеобразный мир растет вширь и вверх. Но, что особенно важно, он не замыкается в себе, а стремится установить дружеские связи с другими областями знания и оказать им посильную помощь. Естественно, что в таком большом хозяйстве время от времени приходится проводить не только мелкие ремонтные работы, но и капитальную перестройку, чтобы устаревшие здания и мелкие улицы не мешали дальнейшему развитию целого района. Время от времени математикам приходится окинуть взглядом всю математику и ее место в системе наук. Пройдемте и мы по вековым ступеням ее развития на этапе прошлого тысячелетия.
Начнем с геометрии. В течение последних столетий второго тысячелетия до н.э. в бассейне Средиземного моря и в прилежащих к нему областях очень многое изменилось в экономике и политике.

Бронзовый век сменился тем нашим веком, который мы зовем веком железа, и происходило это в смутное время переселений и войн. Вытеснение бронзы железом означало не только переворот в военном деле, но и ускорение роста экономики благодаря удешевлению средств производства, и это сделало возможным более деятельное участие широких слоев общества в делах экономического и общественного значения. Это сказалось и в двух важных новшествах: в замене неудобного письма Древнего Востока легко доступным алфавитом и во введении чеканной монеты, что послужило оживлению торговли. Наступило то время, когда культурные ценности уже не могли дальше оставаться исключительным достоянием восточного чиновничества.

Деятельность «морских разбойников» — так египетские тексты характеризуют некоторые переселяющиеся народа – первоначально сопровождались некоторыми культурными потерями. Критская цивилизация исчезла, египетское искусство пришло в упадок, наука Вавилона и Египта окостенела на столетия. Мы не имеем никаких математических текстов этого периода. Когда положение снова стало устойчивым, древний Восток оправился, оставаясь, в основном, верным традициям, но было расчищено место для цивилизации целиком нового склада – греческой цивилизации.

Те города, КОТОРЫЕ ВОЗНИКЛИ НА ПОБЕРЕЖЬЕ Малой Азии и в самой Греции, уже не были административными центрами страны оросительного земледелия. Это были торговые города, где феодалы-землевладельцы были обречены на поражение в борьбе, которую им довелось вести с независимым, обретшим политическое самосознание классом купцов.

Новый общественный уклад создал новый тип человека. Купец-путешественник жил в период географических открытий. Он не признавал ни абсолютного монарха, ни власти, предстающей в виде охранительного божества. А кроме того он мог пользоваться известным досугом благодаря своему богатству и труду своих рабов. Он мог поразмыслить об окружающем его мире; отсутствие вполне установившейся религии привело многих обитателей этих прибрежных городов к мистицизму, но это способствовало и противоположному – росту рационализма и научному подходу.

Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма – математика, которая ставила не только восточный вопрос – «как?», но и современный научный вопрос – «почему?». Согласно преданию отцом греческой математики является купец, милетский философ Фалес, в первой половине 6 века до н.э. посетивший Вавилон и Египет. Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполне реальное. Это – образ, соответствующий тем условиям, в которых закладывались основы не только современной математики, но и всей современной науки и философии. Первоначально греки занимались математикой, имея одну основну цель – понять, какое место во вселенной занимает человек в рамках некоторой рациональной схемы. МАТЕМАТИКА ПОМОГЛА НАЙТИ ПОРЯДОК В ХАОСЕ, СВЯЗАТЬ ИДЕИ В ЛОГИЧЕСКИЕ ЦЕПОЧКИ, ОБНАРУЖИТЬ ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ. ОНА БЫЛА НАИБОЛЕЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИЗ ВСЕХ НАУК.

В шестом веке до н.э. на развалинах Ассирийской империи возникла новая обширная восточная держава – Персия Ахеменидов.

В обстановке общественной и политической борьбы философы и наставники излагали свою теорию и заодно новую математику. Впервые в истории группа критически мыслящих «софистов» стала рассматривать проблемы математического характера скорее с целью уяснения их сути, чем ради пользы.

Так как такой подход позволил софистам дойти до основ точного мышления вообще, было бы чрезвычайно поучительно познакомиться с их рассуждениями. К несчастью, до этого периода дошел лишь один цельный математический фрагмент, принадлежащий ионийскому философу Гиппократу из Хиоса. Математические рассуждения в этом фрагменте на весьма высоком уровне и достаточно типично то, что в нем рассматривается совсем «непрактический», но теоретически существенный вопрос о так называемых луночках – плоских фигурах, ограниченных двумя круговыми дугами.

Этот вопрос – найти площадь таких луночек, у которых площадь рационально выражается через диаметр, — имеет прямое отношение к центральной проблеме греческой математики – квадратуре круга. Анализ этой проблемы у Гиппократа показывает, что у математиков золотого века Греции была упорядоченная система плоской геометрии, в которой в полном объеме применялся принцип логического заключения от одного утверждения к другому («апагоге»). Были заложены аксиоматики, на что указывает название приписываемой Гиппократу книги «Начала», название всех греческих аксиоматических трактатов, включая трактат Евклида. Гиппократ исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Он учит, что площади подобных круговых сегментов относятся как квадраты стягивающих их хорд. Он знает теорему Пифагора, а также соответствующее неравенство для прямоугольных треугольников. Весь его трактат уже мог бы быть отнесен к евклидовой традиции, если бы он не был старше Евклида более чем на столетие.

Проблема квадратуры круга – одна из самых знаменитых «математических проблемы античности», которые в этот период стали предметом исследования. Эти проблемы таковы.

  1. Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.
  2. Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объемы вдвое больше объема заданного куба. (так называемая делийская задача).
  3. Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного квадрата.

Значение этих проблем в том, что их нельзя точно решать геометрически с помощью конечного числа построений прямых линий и окружностей – это можно сделать только приближенно – вследствие чего эти проблемы стали средством для проникновения в новые области математики. В связи с этими проблемами были открыты конические сечения, некоторые кривые третьего и четвертого порядка и трансцендентная кривая, названная квадратиссой. Математики разных эпох, включая нашу, показали, какая связь существует между этими греческими проблемами и современной теорией уравнений, связь, затрагивающая вопросы об областях рациональности, алгебраические числа и теорию групп.

Вероятно от группы софистов, которые в некоторой степени были связаны с демократическим движением, отмежевалась другая группа философов с математическими интересами, примыкающая к аристократическим объединениям. Они называли себя пифагорийцами в честь основателя этой школы – Пифагора.

Пифагор считал, что в основе всего мироздания лежит число. Интерес Пифагор и его школы к свойствам чисел стал источником позднейшей истории чисел. Память об этом сохранена в названии таблицы Пифагора.

Пифагор искал числовые соотношения в геометрических построениях. Ему был известен так называемый египетский треугольник со сторонами, выраженными числами 3, 4, 5.

Египтяне знали, что это прямоугольный треугольник и употребляли его для определения прямых углов при восстановлении разливами Нила границ земельных участков.

Пифагор показал зависимость между сторонами египетского треугольника, которая выражается формулой 32 + 42 = 52. Занимаясь поисками треугольников, стороны которых равны a, b, c, Пифагор вывел формулы, которые в современной символике могут быть выражены так:

,

где с означает произвольное целое число. Оказалось, что всякий треугольник с такими сторонами является прямоугольным треугольником. Теперь прямоугольные треугольники со сторонами, выраженными натуральными числами, мы называем пифагорийскими треугольниками.

Пифагору приписывается открытие теоремы, согласно которой квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на его катетах. Это так называемая терема Пифагора.

Вначале считали, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить такими натуральными числами a, b, c, которые будут удовлетворять формуле .

Дальнейшие исследования математиков пифагорийской школы показали, что это не так.

Например, равнобедренный прямоугольный треугольник, составляющий половину квадрата, не является пифагорийским треугольником, потому что нельзя найти такие три натуральных числа a, b, c, которые бы удовлетворяли условию при , .

Для пифагорийцев это было ужасным открытием: вера в то, что все явления во Вселенной можно объяснить с помощью натуральных чисел, была подорвана.

Открытие, что мир чисел противоположен миру геометрических построений, произвело такое большое впечатление, что сторонники пифагорийской школы сохранили это открытие в тайне и в дальнейших работах геометрические исследования всячески отделяли от арифметических. Это сильно тормозило развитие греческой арифметики, но в тоже время способствовало быстрому развитию геометрии.

Второй исключительной по значению геометрической теоремой, приписываемой Пифагору, является теорема о сумме углов треугольника, равной двум прямым углам.

Пифагор, как утверждает его ученик Прокл, с особенным увлечением занимался прогрессиями, как арифметическими, так и геометрическими. Поэтому, возможно, ему принадлежит идея так называемого пифагорийского круга. Считается также, что Пифагор первым сформулировал положение, что плоскость вокруг точки может быть полностью заполнена лишь тремя видами правильных многоугольников, а именно: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.

Пифагору, наконец, должна быть известна очень важная теорема о том, что площади подобных фигур относятся друг к другу как квадраты соответствующих сторон. Если эта теорема действительно открыта Пифагором, то он мог решать и такие задачи, как построение плоских фигур, подобных одной из данных фигур и равных по площади одной из них. Вышеприведенное предположение очень правдоподобно, так как построением фигур, и не только плоских, Пифагор занимался с особым увлечением.
Евклид и его «начала». Восточная математика возникла как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организация общественных работ и сбор налогов. Вначале главным делом были арифметические расчеты и измерения. Однако в науке, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. И постепенно наукой стали заниматься ради нее самой.

В течение последних столетий второго тысячелетия до н.э. в бассейне Средиземного моря и в прилегающих к нему областях очень много изменилось в экономике и в политике. Бронзовый век сменился веком железа и происходило это в смутное время переселений и войн.

В 334 г. до н.э. начались завоевания Персии А Македонским. В 323 г., когда он умер, в Вавилоне весь Ближний Восток был в руках греков. Прямым последствием походов Александра было то, что ускорилось проникновение греческой цивилизации в обширные районы восточного мира. И греческая математика была пересажена в новую среду. Она сохранила свои прежние особенности, но и испытала влияние тех административных и астрономических запросов, которые выдвигал Восток. Такое тесное соприкосновение греческой науки с Востоком оказалось исключительно плодотворным, особенно в первые столетия. Наибольшего расцвета математика достигла в Египте Птоломеев. Возможно, что это было обусловлено центральным положением Египта той эпохи в средиземноморском мире. Его новая столица Александрия, построенная на берегу моря, стала умственным и хозяйственным центром. Кроме Александрии были и другие центры математической науки, прежде всего Афины и Сиракузы. Афины стали образовательным центром, а Сиракузы дали Архимеда, величайшего греческого математика.

В эту эпоху появляются профессиональные ученые – люди, посвящающие свою жизнь развитию науки. Некоторые из наиболее выдающихся представителей такой группы людей жили в Александрии, где Птоломей построил большой научный центр, так называемый музей с его знаменитой библиотекой. Там оберегали и умножали научное и литературное наследие греков. Одним из первых, связанных с Александрией ученых был Евклид, который являлся одним из наиболее влиятельных математиков всех времен.

О жизни Евклида не существует достоверных фактов. Вероятно, он жил во времена первого Птоломея (1306-285). Его наиболее знаменитое и наиболее выдающееся произведение – тридцать книг его «Начал».

«Начало» написано в раннюю эпоху эллинизма в период подъема античной военной и строительной техники и расцвета точных наук. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Начала» — образец дедуктивной системы, содержащей исходные предложения геометрии и других разделов математики, на основе которых все теории развиваются строго логически. Все произведение представляет собой единое целое, части которого находятся в тесной взаимосвязи. «Начала» составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида и кратко зложенной в сочинениях Аристотеля: сначала приводятся определения, постулаты, и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Помимо теорем в «Началах» имеются и проблемы, решаемые построением или с помощью арифметических алгоритмов. Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов Евклид доказал существование остальных гобъектов геометрии путем их построения, которые выполняются на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения следующих элементарных построений:

— через две точки можно провести прямую;

— отрезок прямой можно неограниченно продолжить;

— данным радиусом из данной точки можно провести окружность;

— все прямые углы равны между собой (этим обеспечивается единственность продолжения прямой);

— если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся при неограниченном их продолжении с той стороны, с которой эта сумма меньше.

Все они (кроме постулата 1, который заменяется требованием, чтобы через две точки проходила единственная прямая) вошли в качестве аксиом в современные курсы основ геометрии. За постулатами в «Началах» приводятся аксиомы-предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами.

С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Начала» недостаточно для дедуктивного построения геометрии, так как здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением четвертой аксиомы), а без этого невозможно доказать основные теоремы равновеликости фигур. На самом деле Евклид при доказательствах пользовался движением, не ограничивая возможности этого в аксиомах. Отсутствуют в «Началах» аксиомы расположения. Из аксиом, характеризующих непрерывность, представлена только так называемая аксиома Архимеда. Она приводится, поскольку нужна была Евклиду для построения будущего учения об отношениях.

На протяжении более 2 тысяч лет «Начала» служили недосягаемым образом математической строгости. До 18 века включительно «Начала» или их сокращенные или переработанные варианты служили основными пособиями по геометрии.

«Начала» Евклида состоят из 30 книг. В книге 1 рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. В книге 2 излагается так называемая геометрическая алгебра, то есть строится геометрический аппарат для решения задач, сводящимся к квадратным уравнениям. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин площадями. Алгебраическая символика в «Началах» отсутствует. В книге 3 рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд, в книге 4 – правильные многоугольники. В книге 5 дается общая теория отношения величин, созданная Евклидом книдским, она отличается особенной логической завершенностью и, в основном, эквивалентна теории дедекиндовых сечений, являющейся одним из обоснованных учений о действительных числах. Общая теория отношений является основой теории учения о подобии (книга 6) и метода исчерпывания (книга 7), также восходящих к Евклиду. В книгах 7-9 изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу. Теории иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. В книге 11 определяются ребра пяти правильных многогранников. В книге 12 определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Наконец, в книге 13 определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что других правильных тел не существует. Последующими греческими математиками были присоединены к «Началам» книги 14 и 15, не принадлежащие Евклиду.
Архимед: оригинальность мысли и мастерская техники вычислений. Величайшим математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287-212), живший в Сиракузах, где он был советником царя Гиерона. Он был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусство Архимеда было использовано защитниками города. Веселовский М.Н. писал: «Если придерживаться фактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как механик, и закончил ее как механик, и в математических его произведениях механика является могучим средством для получения математических результатов, да и сами эти результаты не являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснования механической теории».

Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области, которую сейчас называют интегральным исчислением: теоремы о площадях плоских фигур и об объемах тел. В «Измерении круга» он нашел приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными и описанными правильными многоугольниками.

В книге Архимеда «О сфере и цилиндре» мы находим выражение для поверхности сферы: поверхность сферы в четыре раза больше площади большого круга; и для объема сферы: объем сферы = 2/3 объема описанного цилиндра.

В своей книге «Квадратура параболы» Архимед дал выражение для пощади параболического сегмента (4/3 площади вписанного треугольника с основанием таким же как у сегмента, и с вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию). В книге «О спиралях» мы находим «спираль Архимеда» и вычисление площадей, а в книге «О коноидах и сфероидах» — объем некоторых тел, образованных вращением кривых второго порядка.

«Архимедова спираль» — линия, описываемая точкой М при равномерном ее движении в плоскости вокруг одной из своих точек О.

Имя Архимеда связано также с его теорией о потере веса телами, погруженными в жидкость. Эта теорема находится в трактате по гидростатике «О плавающих телах».

Во всех этих трудах Архимеда поразительная оригинальность мысли сочетается с мастерской техникой вычислений и со строгостью доказательств.

Об архимедовом способе обозначения больших чисел можно узнать из сочинений самого Архимеда, носящего название «Псаммит», по-русски «О числе песка». В этом произведении Архимед хочет показать, что люди, считающие число песчинок на Земле бесконечным, ошибаются. Чтобы еще резче оттеснить ошибочность такого мнения, Архимед берется доказать, что не только на земле, но и во всей Вселенной, если бы она была целиком заполнена песком, число песчинок было бы конечным и легко можно было бы если не подсчитать точное число песчинок во Вселенной, то указать число, которое заведомо больше этого числа песчинок.

Эта постановка вопроса дает Архимеду основание заняться вопросом о размерах Вселенной, под которой он подразумевает пространство, заключенное внутри звездной сферы. Центром этой сферы он считает не Землю, как считало большинство греческих философов, а Солнце.

Установив нижний предел размеров песчинки и верхний предел радиуса Вселенной, Архимед приходит к выводу, что число песчинок не превосходит числа 1063. Чтобы выразить такое число, Архимед расширяет границы ионийской системы нумерации. Это он делает следующим образом: все числа от1 до «мириады мириад» (108) (т.е. числа, для которых в языке существовало словесное выражение) он объединяет названием «первых чисел». Само число 108 сюда не включается, оно получает название «единица вторых чисел». Таким образом, открывается возможность дальнейшего счета вплоть до мириады единиц «вторых чисел», т.е. до 1028. Это последнее, конечно, исключается и получает название «единицы третьих чисел». Таким образом, идем дальше и получаем «единицы четвертых», «пятых чисел», т.е. 103*8, 104*8 и т.д. Здесь Архимед преследует такую цель: он желает показать возможность беспредельного расширения числовой области.

Между тем, образованным ниже способом мы дойдем «только» до числа 108*8. Для последнего числа нет места среди построенных чисел. Оно открывает «второй период» и получает название «единицы первых чисел второго периода». Мириада единиц первых чисел второго периода, т.е. число 10(10+1)*8, получает название «единицы вторых чисел второго периода» и т.д.

Здесь Архимед остановился, но не упускает из виду указать на возможность дальнейшего неограниченного построения чисел этим способом. Вводя для обозначения каждого последующего класса чисел термин «октада», он указывает, что существует сколь угодно много «октад».

  1. Октада охватвает числа от 1 до 108 – 1
  2. Октада охватывает числа от 108 до 1016 – 1

________________________________________

k-ая Октада охватывает от 108(К-1) до 108К – 1.

Для обозначения выполнения действия со сверхбольшими числами, Архимед устанавливает предложение, которое в наших обозначениях запишется так:
10 х 10 = 10.
Это предложение можно рассматривать как первый шаг в открытии логарифмирования.

Во всяком случае здесь Архимед предвосхитил потребности будущего. Здесь Архимед несомненно дал только одно из применений своего широкого теоретического замысла – построения неограниченного ряда чисел, их классификации, письменного изображения и вычислений над ними.

Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства творческих математиков Греции. Это придает его трудам новый оттенок. Это более всего заметно в его «Задаче о быках» — очень сложной задачи неопределенного анализа.
На заре нашей эры. Математику в течение всей ее истории вплоть до современности нельзя отрывать от астрономии. Запросы ирригации и сельского хозяйства в целом, а в известной мере и мореплавания обеспечили астрономии первое место в науке Востока и Эллинистической науке. Ход развития астрономии в немалой мере определял ход развития математики. Астрономия во многом определяла содержание вычислительной математики, а порой и математических понятий, равным образом прогресс астрономии зависел от того, насколько сильна была доступная математическая литература. Строение солнечной системы таково, что сравнительно простыми математическими методами можно получить далеко идущие результаты, но в то же время оно достаточно сложно для того, чтобы стимулировать совершенствование этих методов и самих астрономических теорий. На Востоке, в эпоху, непосредственно предшествующей эллинистической, добились значительного продвижения в вычислительной астрономии, особенно в Месопотамии в позднеассирийскую и персидскую эпохи. Здесь систематически проводившиеся в течение длительного времени наблюдения дали возможность отлично разобраться во многих Эфемеридах. (Эфемериды – координаты тел солнечной системы, вычисленные для различных значений времени и данные в виде таблицы). Движение Луны для математика было одной из самых трудных и увлекательных астрономических проблем как в древности, так и в восемнадцатом веке и вавилонские («халдейские») астрономы много сил положили на его исследование. Установление связей между греческой и вавилонской наукой в эпоху Селевкидов многое дало и в вычислительной, и в теоретической астрономии, и там, где наука Вавилона продолжала следовать древней календарной традиции, греческая наука смогла добиться некоторых из своих наиболее замечательных достижений.

Самым древним из известных нам греческих достижений в теоретической астрономии является планетная теория Евдокса, вдохновителя Евклида. Это была попытка объяснить движение планет вокруг Земли с помощью четырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения, с концами, закрепленными в охватывающей сфере. Это было нечто новое и типично греческое, больше объяснение, чем регистрация небесных явлений. При всей своей внешней примитивности теория Евдокса заключала в себе основную всех планетных теорий вплоть до семнадцатого столетия – объяснение неправильностей видимого движения Луны и планет, наложениям круговых движений. Эта идея лежит в основе и вычислительной части современной динамической теории, поскольку мы водим ряды Фурье.

За Евдоксом последовал Аристарх Самосский (около 280 г. до н.э.), «Коперник античности», которому Архимед приписывает гипотезу, что центром в движении планет является Солнце, а не Земля. У этой гипотезы в древности было мало приверженцев, хотя широко было распространено убеждение в том, что Земля вращается вокруг своей оси. То, что гелиоцентрическая гипотеза имела мало успеха, объясняется преимущественно авторитетом Гиппарха, которого часто называют величайшим астрономом античности.

Александрия оставалась центром античной математики. Велись оригинальные исследования, хотя компилирование и комментирование все более становилось основным видом научной деятельности. Многие результаты античных математиков и астрономов дошли до нас в трудах этих компиляторов, и порой очень трудно выделить то, что они передают и что они открыли сами. Пытаясь проследить постепенный упадок греческой математики, мы должны учитывать и ее техническую сторону: неуклюжий геометрический способ выражения при систематическом отказе от алгебраических обозначений, что делало почти невозможным какое-либо продвижение за «конические сечения» Алгебру и вычисления оставляли презренным людям Востока, на чье учение был нанесен тонкий слой греческой цивилизации. Однако неверно утверждении, что александрийская математика была чисто греческой в традиционном понимании Евклида-Платона: вычислительной арифметикой и алгеброй египетско-вывилонского типа занимались бок о бок с абстрактными геометрическими рассуждениями. Достаточно вспомнить о Птоломее, Героне и Диофанте, чтобы в этом убедиться. Объединяло различные расы и школы только пользование греческим языком.

Одним из самых ранних александрийских математиков римского периода был Никомах из Герасы (около 100г.), чье «Арифметическое введение – наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорийской арифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и в арифметических книгах Евклида, но тогда как у Евклида числа изображаются отрезками, Никомах пользуется арифметическими изображениями и, если имеет дело с неопределенными числами, обычной речью. Полигональные и пирамидальные числа Никомаха оказали влияние на средневековую арифметику, главным образом через Боэция.

Одно из крупнейших произведений этого второго александрийского периода – «Великое собрание» Птоломея, более известное под арабизированным названием «Альмагест» (около 150 г.). «Альмагест» — астрономический труд высшего мастерства и весьма оригинальный, хотя многие из его идей идут от Гиппарха или от Кидинну и других вавилонских астрономов. В нем есть и тригонометрия с таблицей хорд для углов от 00 до 1800 через полградуса. Для синуса угла в 10 Птолемей нашел значение 0,017268.

Точное значение 0,017453. В «Альмагесте» мы находим формулу для синуса и косинуса суммы и разности двух углов и зачатки сферической тригонометрии. Теоремы формулируются геометрически. Наши современные тригонометрические обозначения идут лишь от Эйлера (восемнадцатый век). В «Альмагесте» мы находим и теорему Птоломея о четырехугольник, вписанном в окружность.

В «Планисферии» Птоломея рассматривается стереографическая проекция, а в его «Геометрии» положение на Земле определяется с помощью долготы и широты. Последние, таким образом, являются давним примером координат на сфере. На стереографической проекции основана конструкция астролябии – прибора, который применяли для определения положения на Земле. Астролябия была известна в древности, и ею широко пользовались до введения октанта, позже секстанта. Несколько старше Птоломея Менелай. Всего «Сферике» содержится геометрия сферы и рассматриваются сферические треугольники – предмет, которого нет у Евклида. Здесь мы находим «теорему Менелая» для треугольника в обобщенном для сферы виде. В астрономии Птоломея немало вычислений в шестидесятичных дробях, а трактат Менелая геометричен строго в духе Евклидовой традиции.

К эпохе Менелая, возможно относится и Герон – во всяком случае он точно описал лунное затмение 62 г. Герон был энциклопедистом, он писал на геометрические, вычислительные и механические темы, его произведения – любопытная смесь греческого и восточного.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
К сожалению, начало нового тысячелетия, особенно его первая половина, связана со средневековым застоем в Европе. Творчески мыслящих подвижников постигла трагическая судьба. И только, спустя более тысячи лет, началось второе возрождение математики. Величайшим открытием является введение бесконечно малых величин, понятие производных, интегралов наступила пора бурного развития математического анализа и его приложений, используемых при решении различных научно- технических задач, бурно развивается техника вычислений.

База даних захищена авторським правом ©mediku.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка
Інформація Автореферат Анализ Диплом Додаток Доклад Задача Закон Занятие Звіт Инструкция

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий